Вход
Регистрация



E-mail: 
Пароль: 
Забыли пароль?
Номер телефона: 
E-mail: 
Зарегистрироваться
Закрыть панель
Заполните следующие поля:

Предмет:
Контактный телефон:
Ваши пожелания:
Отправить заявку
Закрыть панель

Позвоните
8 (495) 626-26-05

И мы подберем репетитора
Оставить заявку на
подбор репетитора

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Главная >  Wiki-учебник >  Математика > 9 класс > Формулы двойного угла: тождества и примеры

Формулы двойного угла

 

Формулы сложения позволяют выразить sin(2*a), cos(2*a) и tg(a) через тригонометрические функции угла a.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) – sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1–tg(a)*tg(b)).

Положим в этих формулах a = b. В результате получим следующие тождества:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a))2 – (sin(a))2.

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a))2).

Данные тождества получили название формул двойного угла. Рассмотрим несколько примеров применения формул двойного угла.

Пример 1. Найти значение sin(2*a), зная, что cos(a) = -0,8 и a - угол 3 четверти. Решение:

Сначала вычислим sin(a). Так как угол а третья четверть, то синус в третей четверти будет отрицательным:

sin(a) = -v(1-(cos(a))2) = -v(1-0,64) = -v0,36 = -0,6.

По формуле синуса двойного угла имеем:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0,6)*(-0,8) = 0,96.

Ответ: sin(2*a) = 0,96.

Пример 2. Упростить выражение sin(a)*(cos(a))3 – (sin(a))3*cos(a). Решение:

Вынесем за скобки sin(a)*cos(a). Получим:

sin(a)*(cos(a))3 – (sin(a))3*cos(a) = sin(a)*cos(a)*( cos(a))2 – (sin(a))2).

Теперь воспользуемся формулами двойного угла:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1/4)*sin(4*a).

Ответ: sin(a)*(cos(a))3 – (sin(a))3*cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Используя формулы двойного угла можно получить следующие выражения

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a))2,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a))2.

Иногда при решении примеров бывает очень удобно использовать эти формулы. Рассмотрим следующий пример:

Пример 3. Упростить выражение (1-cos(a))/(1+cos(a)). Решение:

Применим формулы, записанные выше, для выражений (1-cos(a)) и (1+cos(a)). Для этого прежде представим угол а в виде следующего произведения 2*(a/2).

В результате преобразований получаем:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2))2)/(2*(cos(a/2))2),

Используя определение тангенса имеем:

(2*(sin(a/2))2)/(2*(cos(a/2))2)= (tg(a/2))2.

Ответ: (1-cos(a))/(1+cos(a) )= (tg(a/2))2


Предыдущая тема: Формулы сложения основных тригонометрических функций
Следующая тема:   Электронный учебник по физике: все темы школьной программы
Нравится Нравится

Все неприличные комментарии будут удаляться.



Общеобразовательные предметы:


Математика
Физика
Информатика
Химия
История
География
Биология
Литература
Обществознание
Экономика

Иностранные языки:


Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Португальский язык
Итальянский язык
Китайский язык
Японский язык
Норвежский язык

В этом разделе:


Понятие о производной
Линейное уравнение с двумя переменными
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Разложение квадратного трехчлена на множители
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Wiki-учебник:


Что такое Wiki-учебник?
Математика
Русский язык
Геометрия
Физика
Английский язык
Литература
География
Обществознание
История