Вход
Регистрация



E-mail: 
Пароль: 
Забыли пароль?
Номер телефона: 
E-mail: 
Зарегистрироваться
Закрыть панель
Заполните следующие поля:

Предмет:
Контактный телефон:
Ваши пожелания:
Отправить заявку
Закрыть панель

Позвоните
8 (495) 626-26-05

И мы подберем репетитора
Оставить заявку на
подбор репетитора

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Главная >  Wiki-учебник >  Математика > 9 класс > Формулы сложения основных тригонометрических функций

Формулы сложения

 

Формулы сложения служат для того, чтобы выразить через синусы и косинусы углов а и b, значения функций cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).

Формулы сложения для синусов и косинусов 

Теорема: Для любых a и b справедливо следующее равенство cos(a+b) = cos(a)*cos(b) – sin(a)*sin(b).

Докажем эту теорему. Рассмотрим следующий рисунок:

На нём, точки Ma, M-b, M(a+b), получены поворотом точки Мо на углы a, -b, и a+b соответственно. Из определений синуса и косинуса координаты этих точек будут слеюующими: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+b) (cos(a+b); sin(a+b)). УголМоОМ(a+b) = уголМ-bОМа, следовательно равны треугольники МоОМ(a+b) и М-bОМа, причем они равнобедренные. А значит, равны и основания МоМ(а-b) и М-bМа. Следовательно, (МоМ(а-b))^2 = (М-bМа)^2. Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками, получим: 

(1 – cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) – cos(a))^2 + (sin(-b) – sin(a))^2.

sin(-a) = -sin(a) и cos(-a) = cos(a). Преобразуем наше равенство с учетом этих формул и квадрата суммы и разности, тогда:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 – 2*cos(b)*cos(a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

Теперь применим основное тригонометрическое тождество:

2-2*cos(a+b) = 2 – 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

Приведем подобные и сократим на -2:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) – sin(a)*sin(b). Что и требовалось доказать.

Справедливы также следующие формулы:

  • cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
  • sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
  • sin(a-b) = sin(a)*cos(b) – cos(a)*sin(b).

Данные формулы можно получить из доказанной выше, используя формулы приведения и заменой b на –b. Для тангенсов и котангенсов тоже существуют формулы сложения, но они будут справедливы не для любых аргументов.

 Формулы сложения тангенсов и котангенсов

Для любых углов a,b кроме a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n и a+b =pi/2 +pi*m, для любых целых k,n,m будет справедлива следующая формула: 

tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1–tg(a)*tg(b)).

Для любых углов a,b кроме a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n и a-b =pi/2 +pi*m, для любых целых k,n,m будет справедлива следующая формула:

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

Для любых углов a,b кроме a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m и для любых целых k,n,m будет справедлива следующая формула:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).

Для любых углов a,b кроме a=pi*k, b=pi*n, a-b = pi*m и для любых целых k,n,mбудет справедлива следующая формула:

ctg(a-b) = (ctg(a)*ctg(b) +1)/(ctg(b)-ctg(a)).

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Формулы приведения: правила и графики + примеры
Следующая тема:   Формулы двойного угла: тождества и примеры
Нравится Нравится

Все неприличные комментарии будут удаляться.



Общеобразовательные предметы:


Математика
Физика
Информатика
Химия
История
География
Биология
Литература
Обществознание
Экономика

Иностранные языки:


Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Португальский язык
Итальянский язык
Китайский язык
Японский язык
Норвежский язык

В этом разделе:


Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Решение неравенств методом интервалов
Разложение на множители суммы и разности кубов
Свойства тригонометрических функций
Программа по математике за 5 класс

Wiki-учебник:


Что такое Wiki-учебник?
Математика
Русский язык
Геометрия
Физика
Английский язык
Литература
География
Обществознание
История