Вход
Регистрация



E-mail: 
Пароль: 
Забыли пароль?
Номер телефона: 
E-mail: 
Зарегистрироваться
Закрыть панель
Заполните следующие поля:

Предмет:
Контактный телефон:
Ваши пожелания:
Отправить заявку
Закрыть панель

Позвоните
8 (495) 626-26-05

И мы подберем репетитора
Оставить заявку на
подбор репетитора

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Главная >  Wiki-учебник >  Математика > 9 класс > Определение корня n-ой степени: извлечение корня

Определение корня n-ой степени

 

Рассмотрим следующий пример. x4=16. Мы можем записать это уравнение в следующем виде:

  • x4-16=0

или используя формулу разности квадратов так:

  • (x2-4)*(x2+4)=0.

Произведение двух сомножителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю.

Выражение x2 +4 не может равняться нулю,  следовательно, остается  только (x2-4)=0.

Решаем его, получаем два ответа.

Ответ: x=-2 и x=2.

Получили, что уравнение x4=16 имеет только 2 действительных корня. Это корни четвертой степени из числа 16. Причем положительный корень, называют арифметическим корнем 4 степени из числа 16. И обозначают 4√16. То есть  4√16=2.

Определение

  • Арифметическим корнем натуральной степени n>=2 из неотрицательного числа а называется некоторое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число а.

Можно доказать, что для любого неотрицательного а и натурального n  уравнение xn=a будет иметь один единственный неотрицательный корень. Именно этот корень и называют арифметическим корнем n-ой степени из числа а.

Арифметический корень n-ой степени из числа а обозначается следующим образом n√a.

Число а в данном случае называется подкоренным выражением.

В случае когда n=2, двойку не пишут, а записывают просто √а.

Арифметические корни второй и третей степени имеют свои специальные названия.

Арифметический корень второй  степени называется квадратным корнем, а арифметический корень третей степени – кубическим корнем.

Используя только ишь определение арифметического корня, можно доказать, что n√a равен b. Для этого нужно показать, что:

  • 1. b больше либо равно нулю.
  • 2. bn =a.

Например, 3√(64) = 4, так как 1. 4>0, 2. 43 =64. 

Следствие из определения арифметического корня.

  • (n√a)n = a. 
  • n√(an) = a.

Например, (5√2)5 = 2.

Извлечение корня n-ой степени

Извлечением корня n-ой степени называется действие, с помощью которого отыскивается корень n-ой степени. Извлечение корня n-ой степени является обратным действием к возведению в n-ую  степень.

Рассмотрим пример.

Решить уравнение x3 = -27.

Перепишем это уравнение в виде (-x)3=27.

Положим у=-х, тогда y3=27. Это уравнение имеет один положительный корень y= 3√27 = 3.

Отрицательных корней у этого уравнения нет, так как y3

Получаем, что уравнение у3 =27 имеет только один корень.

Возвращаясь к исходному уравнению, получаем, что оно имеет тоже только один корень x=-y=-3.

Ответ: х=-3.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Функция y=x^n: линейная функция, квадратичная, кубическая и y=1/x
Следующая тема:   Свойства арифметического корня n-ой степени: 5 свойств с доказательством
Нравится Нравится

Все неприличные комментарии будут удаляться.



Общеобразовательные предметы:


Математика
Физика
Информатика
Химия
История
География
Биология
Литература
Обществознание
Экономика

Иностранные языки:


Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Португальский язык
Итальянский язык
Китайский язык
Японский язык
Норвежский язык

В этом разделе:


Степень с рациональным показателем
Понятие о дифференциальных уравнениях
Задачи с квадратными уравнениями
Решение задач с помощью рациональных уравнений
Формулы сложения

Wiki-учебник:


Что такое Wiki-учебник?
Математика
Русский язык
Геометрия
Физика
Английский язык
Литература
География
Обществознание
История