Вход
Регистрация



E-mail: 
Пароль: 
Забыли пароль?
Номер телефона: 
E-mail: 
Зарегистрироваться
Закрыть панель
Заполните следующие поля:

Предмет:
Контактный телефон:
Ваши пожелания:
Отправить заявку
Закрыть панель

Позвоните
8 (495) 626-26-05

И мы подберем репетитора
Оставить заявку на
подбор репетитора

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Главная >  Wiki-учебник >  Математика > 9 класс > Определение степени с дробным показателем: доказательство и особенности

Определение степени с дробным показателем

 

Рассмотрим небольшой пример. Вычислим 4√(512).

Воспользуемся свойствами корня и степени числа. 512 = (53)4, следовательно, можем записать условие следующим образом:

  • 4√((53)4) = (4√(53))4 = 53 = 125.

Таким образом получаем, что 4√(512) = 5(12/4). Так же можно показать, что, например, 

  • 5√(3(-4)) = 3(-4/3).

Доказательство

  • Если n некоторое натуральное число, причем n больше либо равно 2, m – некоторое целое число, и частное m/n будет являться целым числом, то при а >0 справедливо следующее равенство: n√(am) = a(m/n).

Докажем этот факт. m/n – некоторое целое число (по условию), то есть в результате деления мы получим целое k (m/n = k). Тогда можно записать, что m=k*n.  Далее, применяя свойства степени и арифметического корня получим:

  • n√ (am) = n√(a(n*k)) =n√((ak)n) = ak  = a(m/n).

То есть n√(am) = a(m/n). Что и требовалось доказать.

Если же при делении m на n получится не целое число, то степень вида a(m/n), где а>0,  определяют таким образом, чтобы формула написанная выше ( n√(am) = a(m/n) ), оставалась верной.

  • То есть, формула n√(am) = a(m/n) будет справедлива для любого целого числа m, любого натурального числа n больше либо равного двум и а>0.

Например, 

  • 16(3/4) = 4√(163) = 4√(212) = 23 = 8.
  • 7(5/4) = 4√(75) = 4√((74)*7) = 7*4√7.

Как мы уже знаем, числа вида m/n, где n – некоторое натуральное число, а m – некоторое целое число, называют дробными или рациональными числами.

Из всего вышесказанного получаем, что степень определена, для любого рационального показателя степени и любого положительного основания степени.

Особенности

Стоит отметить, что если рациональное число в показателе будет положительным, то выражение n√(am) будет иметь  смысл не только при положительных а, но и при а равном нулю.

  • n√(0m) = 0.

Поэтому, в математике считается, что при m/n > 0 выполняется равенство 0(m/n) = 0.

Отметим также, что при любом целом, любых натуральных m и n, и положительном а верно следующее равенство:

a(m/n) = a((mk)/(nk)).

Например, 134(3/4) = 134(6/8) = 134(9/12)

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Свойства арифметического корня n-ой степени: 5 свойств с доказательством
Следующая тема:   Преобразования выражений, содержащих степень с дробным показателем
Нравится Нравится

Все неприличные комментарии будут удаляться.



Общеобразовательные предметы:


Математика
Физика
Информатика
Химия
История
География
Биология
Литература
Обществознание
Экономика

Иностранные языки:


Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Португальский язык
Итальянский язык
Китайский язык
Японский язык
Норвежский язык

В этом разделе:


Понятие о производной
Решение задач с помощью рациональных уравнений
Формула суммы n первых членов ГП
Программа по математике за 8 класс
Понятие многочлена

Wiki-учебник:


Что такое Wiki-учебник?
Математика
Русский язык
Геометрия
Физика
Английский язык
Литература
География
Обществознание
История