Вход
Регистрация



E-mail: 
Пароль: 
Забыли пароль?
Номер телефона: 
E-mail: 
Зарегистрироваться
Закрыть панель
Заполните следующие поля:

Предмет:
Контактный телефон:
Ваши пожелания:
Отправить заявку
Закрыть панель

Позвоните
8 (495) 626-26-05

И мы подберем репетитора
Оставить заявку на
подбор репетитора

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Главная >  Wiki-учебник >  Математика > 11 класс > Основное свойство первообразной: теорема и наглядные примеры

Основное свойство первообразной

 

Главная задача интегрирования состоит в том, чтобы по заданной некоторой функции найти все её первообразные.

Признак постоянства функции

Если на некотором промежутке будет выполняться равенство F’(x) = 0, то тогда функция F на этом промежутке постоянна. Как уже известно, для некоторой функции f существует бесконечное много её первообразных. Все первообразные для некоторой функции f можно записать с помощь общего вида первообразных.

Основное свойство первообразной

Будет справедлива следующая теорема. Теорема: любая первообразная для некоторой функции f на промежутке А может быть записана в виде:

F(x) +C, где F(x) – одна из первообразных для данной функции f на промежутке A, а С – некоторая произвольная постоянная.

Теорема, приведенная выше, называется еще основным свойством первообразной. Разберем её более подробно, так как в ней скрывается целых два свойства первообразной функции.

1. При подстановке любого числа вместо С в эту формулу получим первообразную функции f на промежутке А.

2. Если взять любую первообразную Ф для функции f на некотором промежутке А. То для этой производной можно подобрать некоторое число С, такое что для любого х будет выполняться следующее равенство: Ф(х) = F(x)+C.

Это свойство можно очень наглядно интерпретировать. Графики первообразных одной и той же функции будут получаться один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу. И таких графиков будет бесконечно много.

Посмотрите на следующий рисунок, на нем наглядно показана геометрическая интерпретация всего вышесказанного.

рисунок

Рассмотрим следующий пример: найти общий вид первообразных, для функции f(x) = -x^3 на всей числовой оси.

Одной из первообразных будет являться функция –(x^4)/4, так как (–(x^4)/4)’ = -x^3. Следовательно, по теореме об основном свойстве первообразной, представленной выше, общий вид первообразных для функции f = -x^3 будет следующий:

F(x) = –(x^4)/4 + C.

При нахождении первообразных функции f промежуток, на котором задана функция f, обычно не указывают - для краткости записи. При этом, всегда имеются ввиду такие промежутки, чтобы они были как можно большей длины. 


Предыдущая тема: Примеры применения производной к исследованию функции: ↑ и ↓
Следующая тема:   Три правила нахождения первообразных: алгоритм нахождения и примеры
Нравится Нравится

Все неприличные комментарии будут удаляться.



Общеобразовательные предметы:


Математика
Физика
Информатика
Химия
История
География
Биология
Литература
Обществознание
Экономика

Иностранные языки:


Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Португальский язык
Итальянский язык
Китайский язык
Японский язык
Норвежский язык

В этом разделе:


Способ подстановки в решении систем уравнений
Производная и первообразная логарифмической функции
Материалы по математике: школьная программа
Формула суммы n первых членов ГП
Программа по математике за 4 класс

Wiki-учебник:


Что такое Wiki-учебник?
Математика
Русский язык
Геометрия
Физика
Английский язык
Литература
География
Обществознание
История