Вход
Регистрация



E-mail: 
Пароль: 
Забыли пароль?
Номер телефона: 
E-mail: 
Зарегистрироваться
Закрыть панель
Заполните следующие поля:

Предмет:
Контактный телефон:
Ваши пожелания:
Отправить заявку
Закрыть панель

Позвоните
8 (495) 626-26-05

И мы подберем репетитора
Оставить заявку на
подбор репетитора

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Главная >  Wiki-учебник >  Математика > 10 класс > Понятие о непрерывности функции и предельном переходе: основные правила

Непрерывность функции и предельный переход

 

Некоторая функция f будет стремится к числу А при х стремящемся к точке х0 тогда, когда разность f(x) – A будет сколь угодно мала. Другими словами, выражение |f(x) –A| становится меньше любого наперед заданного фиксированного числа h > 0, при уменьшении модуля приращения аргумента |∆x|.

Предельный переход

Нахождение этого числа А по функции f называют предельным переходом. В школьном курсе предельный переход будет встречаться в двух основных случаях.

1. Предельный переход в отношении ∆f/∆x при нахождении производной.

2. При определении непрерывности функции.

Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке х0, если f(x) стремится к f(x0) при стремлении x к x0. При этом: f(x) – A = f(x) – f(x0) = ∆f. 
Это означает, что |∆f| будет малым при малых |∆x|. Если описывать словами, то малым изменениям аргумента соответствуют малые изменения значения функции.

Функции, которые встречаются в школьном курсе математики, например, линейная функция, квадратичная функция, степенная функция и другие, непрерывны в каждой точке области, на которой они определены. У этих функций графики изображаются непрерывными кривыми линиями.

На этом факте основывается способ построения графика функции «по точкам», которым мы обычно пользуемся. Но прежде чем им пользоваться, необходимо выяснить действительно ли рассматриваемая функция будет непрерывна. Для простых случаев это можно сделать на основании определения непрерывности, которое мы дали выше.

Например: докажем, что линейная функция непрерывна в каждой точке числовой прямой y = k*x + b.

Согласно определению, нам нужно показать, что |∆f| становится меньше любого наперед заданного числа h>0, при малых |∆x|

|∆f| = |f(x0 +∆x) – f(x0)| = |(k*(x0+ ∆x) +b) – (k*x0+ b)| =|k|*|∆x|. 

Если взять |∆x| >h/|k| при k не равном нулю, то |∆f| будет меньше любого h>0, что и требовалось доказать.

Правила предельного перехода

При использовании операции предельного перехода следует руководствоваться следующими правилами.

1. Если функция f непрерывна в точке x0, то ∆f стремится к нулю при стремлении ∆х к нулю.

2. Если функция f имеет производную в точке х0, то ∆f/∆x стремится к f’(x0) при стремлении ∆x к нулю.

3. Пусть f(x) стремится к A, g(x) стремится к B при стремлении х к х0. Тогда:

f(x) + g(x) стремится к A + B;

f(x)*g(x) стремится к A*B;

f(x)/g(x) стремится к A/B ( при B не равном нулю).

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Понятие о производной: разбираем на примере задачи
Следующая тема:   Применения непрерывности: метод интервалов и примеры
Нравится Нравится

Все неприличные комментарии будут удаляться.



Общеобразовательные предметы:


Математика
Физика
Информатика
Химия
История
География
Биология
Литература
Обществознание
Экономика

Иностранные языки:


Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Португальский язык
Итальянский язык
Китайский язык
Японский язык
Норвежский язык

В этом разделе:


Определение степени с дробным показателем
Показательная функция
Решения системы линейных уравнений с двумя переменными
Разложение на множители
Формулы двойного угла

Wiki-учебник:


Что такое Wiki-учебник?
Математика
Русский язык
Геометрия
Физика
Английский язык
Литература
География
Обществознание
История