Вход
Регистрация



E-mail: 
Пароль: 
Забыли пароль?
Номер телефона: 
E-mail: 
Зарегистрироваться
Закрыть панель
Заполните следующие поля:

Предмет:
Контактный телефон:
Ваши пожелания:
Отправить заявку
Закрыть панель

Позвоните
8 (495) 626-26-05

И мы подберем репетитора
Оставить заявку на
подбор репетитора

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Главная >  Wiki-учебник >  Математика > 11 класс > Применение интеграла: нахождение объема тела и вычисление центра масс тела

Применение интеграла

 

Понятие интеграла широко применимо в жизни. Интегралы применяется в различных областях науки и техники. Основными задачами, вычисляемыми с помощью интегралов являются задачи на:

1. Нахождение объема тела

2. Нахождение центра масс тела.

Рассмотрим каждую из них более подробно. Здесь и далее, для обозначения определенного интеграла от некоторой функции f(x), с пределами интегрирования от a до b, будем использовать следующую запись abf(x).

Нахождение объема тела

Рассмотрим следующий рисунок. Допустим, имеется некоторое тело, объем которого равен V. Так же имеется прямая такая, что если мы возьмем некоторую плоскость, перпендикулярную этой прямой, на будет известна площадь сечения S данного тела этой плоскостью.

Каждая такая плоскость будет перпендикуляра оси Ох, а следовательно будет пересекать её в некоторой точке х. То есть каждой точке х, из отрезка [a;b] будет поставлена в соответствие число S(x) – площадь сечения тела плоскость проходящей через эту точку. 

Получается, на отрезке [a;b] будет задана некоторая функция S(x). Если эта функция будет непрерывна на этом отрезке, то будет справедлива следующая формула:

V = ∫abS(x)dx.

Доказательство этого утверждения выходит за рамки программы школьного курса.

Вычисление центра масс тела

Центр масс чаще всего используется в физике. Например, есть некоторое тело которое движется с какой-либо скорость. Но большое тело рассматривать неудобно, и поэтому в физике рассматривается это тело, как движение точки, в предположении, что эта точка имеет такую же массу, как и все тело.

А задача вычисления цетра масс тела, является основной в этом вопросе. Потому как тело-то большое, и какую именно точку надо взять за центр масс? Может быть ту, которая находится в середине тела? Или может саму ближнюю точку к переднему краю? Тут приходит на помощь интегрирование.

Для нахождения центра масс используется следующие два правила:

1. Координата x’ центра масс некоторой системы материальных точек A1, A2,A3, … An с массами m1,m2,m3, … mn соответственно расположенных на прямой в точках с координатами x1, x2, x3, … xn находится последующей формуле:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. При вычислении координаты центра масс можно любую часть рассматриваемой фигуры заменить на материальную точку, при этом поместив ее в центр масс этой отдельной части фигуры, а массу взять равную массе этой части фигуры.

Например, если вдоль стержня – отрезка [a;b] оси Ох распределена масса плотностью p(x), где p(x) есть непрерывная функция, то координата центра масс x’ будет равняться:

(1/M)* ∫abx*p(x)dx.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Формула Ньютона - Лейбница: примеры вычисления интегралов
Следующая тема:   Электронный учебник по английскому языку: все темы школьной программы
Нравится Нравится

Все неприличные комментарии будут удаляться.



Общеобразовательные предметы:


Математика
Физика
Информатика
Химия
История
География
Биология
Литература
Обществознание
Экономика

Иностранные языки:


Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Португальский язык
Итальянский язык
Китайский язык
Японский язык
Норвежский язык

В этом разделе:


Относительная погрешность
Признаки делимости на 2, на 5 и на 10
Число и цифра
Определение степени с дробным показателем
Функция y = k/x и ее график

Wiki-учебник:


Что такое Wiki-учебник?
Математика
Русский язык
Геометрия
Физика
Английский язык
Литература
География
Обществознание
История