Вход
Регистрация



E-mail: 
Пароль: 
Забыли пароль?
Номер телефона: 
E-mail: 
Зарегистрироваться
Закрыть панель
Заполните следующие поля:

Предмет:
Контактный телефон:
Ваши пожелания:
Отправить заявку
Закрыть панель

Позвоните
8 (495) 626-26-05

И мы подберем репетитора
Оставить заявку на
подбор репетитора

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Главная >  Wiki-учебник >  Математика > 9 класс > Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений

Применение основных тригонометрических формул

 

Основные тригонометрические формулы:

1. (sin(a))2 + (cos(a))2 = 1;

2. tg(a) = sin(a) / cos(a);

3. ctg(a) = cos(a) / sin(a);

4. tg(a)*ctg(a) = 1;

5. 1 + (tg(a))2 = 1 / (cos(a))2;

6. 1 + (ctg(a))2 = 1 / (sin(s))2.

Применение основных тригонометрических формул:

Пример 1. Упростить выражение ((ctg(a))2)*(((cos(a))2 - 1).

Решение:

Сначала воспользуемся основным тригонометрическим тождеством (sin(a))2 + (cos(a))2 = 1. Исходное уравнение преобразуется к виду: ((ctg(a))2)*(-(sin(a))2).

Теперь воспользуемся определением котангенса: ctg(a) = cos(a)/sin(a). Следовательно, (ctg(a))2 = (cos(a))2/(sin(a))2. Наше исходное выражение преобразуется. Получим:

((ctg(a))2)*(((cos(a))2 -1) = ((ctg(a))2)*(-(sin(a))2) = ((cos(a))2/(sin(a))2)*(-(sin(a))2)= -(cos(a))2.

Ответ: ((ctg(a))2)*(((cos(a))2 - 1) = -(cos(a))2.

Пример 2. Упростить выражение sin(a) / 1 + cos(a) + (1 + cos(a)) / sin(a).

Решение:

Приведем данные дроби к общему знаменателю (sin(a))*(1+cos(a)) и выполним сложение. Имеем:

sin(a)/(1 + cos(a)) + (1 + cos(a)) / sin(a) = ((sin(a))2 + (1 + cos(a))2) / ((sin(a))*(1 + cos(a))).

Раскроем скобки в числителе полученной дроби:

((sin(a))2 + (1 + cos(a))2) / ((sin(a))*(1 + cos(a))) = ((sin(a))2 + 1 + 2*cos(a) + (cos(a))2) / ((sin(a))*(1 + cos(a))).

В числителе получили основное тригонометрическое тождество, (sin(a))2 + (cos(a))2, его можно заменить на единицу.

((sin(a))2 + 1 + 2*cos(a) + (cos(a))2) / ((sin(a))*(1 + cos(a))) = (2 + 2*cos(a)) / ((sin(a))*(1 + cos(a))).

Выносим в числителе общий множитель 2 за скобку:

(2 + 2*cos(a)) / ((sin(a))*(1 + cos(a))) = 2*(1 + cos(a)) / ((sin(a))*(1 + cos(a))).

Числитель и знаменатель можно сократить на скобку (1 + cos(a)).

2*(1 + cos(a)) / ((sin(a))*(1 + cos(a))) = 2/sin(a).

Ответ: sin(a) / (1 + cos(a)) + (1 + cos(a))/sin(a) = 2 / sin(a).

Пример 3. Доказать тождество (tg(a))2 – (sin(a))2 = (tg(a))2*(sin(a))2.

Решение:

Преобразуем левую часть равенства:

(tg(a))2 – (sin(a))2 = (sin(a))2 / (cos(a))2 – (sin(a))2 = (sin(a))2*[1 / (cos(a))2 -1] = (sin(a))2*(1+(tg(a))2 -1) = (tg(a))2*(sin(a))2.

Получилось что правая часть равна левой, следовательно, тождество доказано.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла
Следующая тема:   Формулы приведения: правила и графики + примеры
Нравится Нравится

Все неприличные комментарии будут удаляться.



Общеобразовательные предметы:


Математика
Физика
Информатика
Химия
История
География
Биология
Литература
Обществознание
Экономика

Иностранные языки:


Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Португальский язык
Итальянский язык
Китайский язык
Японский язык
Норвежский язык

В этом разделе:


Функция y = k/x и ее график
Сложение и вычитание десятичных дробей
Точка. Отрезок. Луч. Прямая. Числовая прямая
Целое уравнение и его корни
Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Wiki-учебник:


Что такое Wiki-учебник?
Математика
Русский язык
Геометрия
Физика
Английский язык
Литература
География
Обществознание
История