Вход
Регистрация



E-mail: 
Пароль: 
Забыли пароль?
Номер телефона: 
E-mail: 
Зарегистрироваться
Закрыть панель
Заполните следующие поля:

Предмет:
Контактный телефон:
Ваши пожелания:
Отправить заявку
Закрыть панель

Позвоните
8 (495) 626-26-05

И мы подберем репетитора
Оставить заявку на
подбор репетитора

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Главная >  Wiki-учебник >  Математика > 11 класс > Производная и первообразная показательной функции: число е и примеры

Производная и первообразная показательной функции

 

График показательной функции представляет собой кривую плавную линию без изломов, к которой в каждой точке, через которую она проходит, можно провести касательную. Логично предположить, что если можно провести касательную, значит функция будет дифференцируема в каждой точке своей области определения.

Отобразим в одних координатных осях несколько графиков функции y = xa, Для а = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4. 

В точке с координатами (0;1). Углы наклона этих касательных будут равны приблизительно 35, 40, 48 и 51 градусов соответственно. Логично предположить, что на интервале от 2 до 3 существует число, при котором угол наклона касательной будет равен 45 градусов.

Дадим точную формулировку этого утверждения: существует такое число большее 2 и меньшее 3, обозначаемое буквой е, что показательная функция y = ex в точке 0, имеет производную равную 1. То есть: (e∆x-1) / ∆x стремится к 1 при стремлении ∆х к нулю.

Данное число e является иррациональным и записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дробью:

e = 2,7182818284…

Так как число е положительно и отлично от нуля, то существует логарифм по основанию e. Данный логарифм называется натуральным логарифмом. Обозначается ln(x) = loge(x).

Производная показательной функции

Теорема: Функция ex дифференцируема в каждой точке своей области определения, и (ex)’ = ex.

Показательная функция ax дифференцируема в каждой точке своей области определения, и причем (ax)’ = (ax)*ln(a).
Следствием из этой теоремы является тот факт, что показательная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Пример: найти производную функции y = 2x.

По формуле производной показательной функции получаем:

(2x)’ = (2x)*ln(2).

Ответ: (2x)*ln(2).

Первообразная показательной функции

Для показательной функции ax заданной на множестве вещественных чисел первообразной будет являться функция (ax)/(ln(a)).
ln(a) – некоторая постоянная, тогда (a/ ln(a))’= (1 / ln(a)) * (ax) * ln(a) = ax для любого х. Мы доказали эту теорему.

Рассмотрим пример на нахождение первообразной показательной функции.

Пример: найти первообразную к функции f(x) = 5x. Воспользуемся формулой приведенной выше и правилами нахождения первообразных. Получим: F(x) = (5x) / (ln(5)) +C.

Ответ: (5x) / (ln(5)) + C.


Предыдущая тема: Понятие об обратной функции: график функции и теорема
Следующая тема:   Производная и первообразная логарифмической функции: примеры и алгоритм
Нравится Нравится

Все неприличные комментарии будут удаляться.



Общеобразовательные предметы:


Математика
Физика
Информатика
Химия
История
География
Биология
Литература
Обществознание
Экономика

Иностранные языки:


Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Португальский язык
Итальянский язык
Китайский язык
Японский язык
Норвежский язык

В этом разделе:


Периодичность тригонометрических функций
Степень с рациональным показателем
Разложение квадратного трехчлена на множители
График линейного уравнения с двумя переменными
Применение основных тригонометрических формул

Wiki-учебник:


Что такое Wiki-учебник?
Математика
Русский язык
Геометрия
Физика
Английский язык
Литература
География
Обществознание
История