Вход
Регистрация



E-mail: 
Пароль: 
Забыли пароль?
Номер телефона: 
E-mail: 
Зарегистрироваться
Закрыть панель
Заполните следующие поля:

Предмет:
Контактный телефон:
Ваши пожелания:
Отправить заявку
Закрыть панель

Позвоните
8 (495) 626-26-05

И мы подберем репетитора
Оставить заявку на
подбор репетитора

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Главная >  Wiki-учебник >  Математика > 9 класс > Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла

 

Попробуем отыскать зависимость между основными тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Соотношение между косинусом и синусом одного и того же угла

На следующем рисунке представлена система координат Оху с изображенной в ней частью единичной полуокружности ACB  с центром в точке О. Эта часть является дугой единичной окружности. Единичная окружность описывается уравнением 

  • x2+y2=1.

Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:

  • sin(a) = у, 
  • cos(a) = х.

Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство

  • (sin(a))2 + (cos(a))2 =1,

Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.

Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.

  • sin(a) = ±√(1-(cos(a))2),
  • cos(a) = ±√(1-(sin(a))2).

Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.

Например.

Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi<a<3*pi/2.

Воспользуемся формулой приведенной выше:

  • sin(a) = ±√(1-(cos(a))2).

Так как pi<a<3*pi/2, это 3 четверть, то знак перед корнем будет «минус». Sin  в третьей четверти отрицателен.

  • sin(a) = ±√(1-(cos(a))2) = - √(1 – 9/25) = - 4/5.

Соотношение между тангенсом и котангенсом одного и того же угла

Теперь, попробуем найти зависимость, между тангенсом и котангенсов.

По определению tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a).

Перемножим эти равенства, получим tg(a)*ctg(a) =1.

Из этого равенства можно выразить одну функцию через другую. Получим:

  • tg(a) = 1/ctg(a),
  • ctg(a) = 1/tg(a).

Следует понимать, что эти равенства справедливы лишь тогда, когда tg и ctg существуют, то есть для любых а, кроме а=k*pi/2, при любом целом k.

Теперь попробуем используя основное тригонометрическое тождество найти зависимости между тангенсом и косинусом.

Поделим основное тригонометрическое тождество, на (cos(a))2.  (cos(a) не равен нулю, иначе бы тангенс не существовал бы.

Получим следующее равенство ((sin(a))2 + (cos(a))2)/ (cos(a))2 =1/(cos(a))2.

Разделив почленно получаем:

  • 1+(tg(a))2 = 1/(cos(a))2.

Как уже отмечалось выше, эта формула верна если cos(a)  не равен нулю, то есть для всех углов а, кроме а=pi/2 +pi*k,  при любом целом k.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Радианная мера угла: что означает, таблица соответствий с градусами
Следующая тема:   Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений
Нравится Нравится

Все неприличные комментарии будут удаляться.



Общеобразовательные предметы:


Математика
Физика
Информатика
Химия
История
География
Биология
Литература
Обществознание
Экономика

Иностранные языки:


Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Португальский язык
Итальянский язык
Китайский язык
Японский язык
Норвежский язык

В этом разделе:


Логарифмическая функция
Программа по математике за 5 класс
Формулы приведения
Решения системы линейных уравнений с двумя переменными
График линейного уравнения с двумя переменными

Wiki-учебник:


Что такое Wiki-учебник?
Математика
Русский язык
Геометрия
Физика
Английский язык
Литература
География
Обществознание
История