Вход
Регистрация



E-mail: 
Пароль: 
Забыли пароль?
Номер телефона: 
E-mail: 
Зарегистрироваться
Закрыть панель
Заполните следующие поля:

Предмет:
Контактный телефон:
Ваши пожелания:
Отправить заявку
Закрыть панель

Позвоните
8 (495) 626-26-05

И мы подберем репетитора
Оставить заявку на
подбор репетитора

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Главная >  Wiki-учебник >  Математика > 11 класс > Степень с рациональным показателем: их основные свойства

Степень с рациональным показателем

 

Выражение an (степень с целым показателем) будет определено во всех случаях, за исключением случая, когда a = 0 и при этом n меньше либо равно нулю. 

Свойства степеней

Основные свойства степеней с целым показателем:

am *an = a(m+n);

am : an = a(m-n) ( при a не равном нулю);

(am)n = a(m*n);

(a*b)n = an *bn;

(a/b)n = (an)/(bn) (при b не равном нулю);

a1 = a;

a0 = 1 ( при a не равном нулю);

Эти свойства будут справедливы для любых чисел a, b и любых целых чисел m и n. Стоит отметить также следующее свойство:

Если m>n, то am > an, при a>1 и am

Можно обобщить понятие степени числа на случаи, когда в качестве показателя степени выступают рациональные числа. При этом хотелось бы, чтобы выполнялись все выше перечисленные свойства или хотя бы часть из них.

Например, при выполнении свойства (am)n = a(m*n) выполнялось бы следующее равенство:

(a(m/n))n = am.

Это равенство означает, что число a(m/n) должно являться корнем n-ой степени из числа am.

Степенью некоторого числа a (большего нуля) с рациональным показателем r = (m/n), где m – некоторое целое число, n – некоторое натурально число большее единицы, называется число n√(am). Исходя из определения: a(m/n) = n√(am).

Для всех положительных r будет определена степень числа нуль. По определению 0r = 0. Отметим также, что при любом целом, любых натуральных m и n, и положительном а верно следующее равенство: a(m/n) = a((mk)/(nk)).

Например: 134(3/4) = 134(6/8) = 134(9/12).

Из определения степени с рациональным показателем напрямую следует тот факт, что для любого положительного а и любого рационального r число ar будет положительным.

Основные свойства степени с рациональным показателем

Для любых рациональных чисел p, q и любых a>0 и b>0 верны следующие равенства:

1. (ap)*(aq) = a(p+q);

2. (ap):(bq) = a(p-q);

3. (ap)q = a(p*q);

4. (a*b)p = (ap)*(bp);

5. (a/b)p = (ap)/(bp).

Данные свойства вытекают из свойств корней. Все данные свойства доказываются аналогичным способом, поэтому ограничимся доказательством только одного из них, например, первого (ap)*(aq) = a(p + q).

Пусть p = m/n, a q = k/l, где n, l - некоторые натуральные числа, а m, k – некоторые целые числа. Тогда нужно доказать, что:

(a(m/n))*(a(k/l)) = a((m/n) + (k/l)).

Сначала приведем дроби m/n k/l к общему знаменателю. Получим дроби (m*l)/(n*l) и (k*n)/(n*l). Перепишем левую часть равенства с помощью этих обозначений и получим:

(a(m/n))*(a(k/l)) = (a((m*l)/(n*l)))*(a((k*n)/(n*l))).

Далее, используя определение степени с рациональным показателем, свойства степени с целым показателем и свойства корня, получим:

(a(m/n))*(a(k/l)) = (a((m*l)/(n*l)))*(a((k*n)/(n*l))) = (n*l)√(a(m*l))*(n*l)√(a(k*n)) = (n*l)√( (a(m*l))*(a(k*n))) = (n*l)√(a(m*l+k*n)) = a((m*l+k*n)/(n*l)) = a((m/n)+(k/l)).

То есть получили, что (a(m/n))*(a(k/l)) = a((m/n)+(k/l)), что и требовалось доказать.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Иррациональные уравнения: алгоритм решения и примеры
Следующая тема:   Показательная функция: график и основные свойства функции
Нравится Нравится

Все неприличные комментарии будут удаляться.



Общеобразовательные предметы:


Математика
Физика
Информатика
Химия
История
География
Биология
Литература
Обществознание
Экономика

Иностранные языки:


Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Португальский язык
Итальянский язык
Китайский язык
Японский язык
Норвежский язык

В этом разделе:


Сходства и различия предметов
Рациональные числа
Производная и первообразная логарифмической функции
Квадратный трехчлен и его корни
Сложение и вычитание десятичных дробей

Wiki-учебник:


Что такое Wiki-учебник?
Математика
Русский язык
Геометрия
Физика
Английский язык
Литература
География
Обществознание
История