Вход
Регистрация



E-mail: 
Пароль: 
Забыли пароль?
Номер телефона: 
E-mail: 
Зарегистрироваться
Закрыть панель
Заполните следующие поля:

Предмет:
Контактный телефон:
Ваши пожелания:
Отправить заявку
Закрыть панель

Позвоните
8 (495) 626-26-05

И мы подберем репетитора
Оставить заявку на
подбор репетитора

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Главная >  Wiki-учебник >  Математика > 9 класс > Свойства арифметического корня n-ой степени: 5 свойств с доказательством

Свойства арифметического корня n-ой степени

 

  • Арифметическим корнем натуральной степени n>=2 из неотрицательного числа а называется некоторое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число а.

Можно доказать, что для любого неотрицательного а и натурального n  уравнение x^n=a будет иметь один единственный неотрицательный корень. Именно этот корень и называют арифметическим корнем n-ой степени из числа а.

Арифметический корень n-ой степени из числа а обозначается следующим образом n√a. Число а в данном случае называется подкоренным выражением.

Арифметический корень второй  степени называется квадратным корнем, а арифметический корень третей степени – кубическим корнем.

Основные свойства арифметического корня n-ой степени

  • 1. (n√a)^n = a. 

n√(a^n) = a.

Например, (5√2)^5 = 2.

Это свойство прямо следует из определения арифметического корня n-ой степени.

Если a больше либора равно нулю, b больше нуля и n, m – некоторые натуральные числа такие, что n больше либо равно 2 и m больше либо равно 2, тогда справедливы следующие свойства:

  • 2. n√(a*b)= n√a*n√b.

Например, 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.

  • 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).

Например, 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.  

  • 4. (n√a)^m = n√(a^m).

Например,7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.

  • 5. m√(n√a) = (n*m) √a.

Например, 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.

Заметим, что в свойстве 2, число b может быть равным нулю, а в свойстве 4 число m  может быть любым целым, при условии, что a>0.

Доказательство второго свойства

Все последние четыре свойства доказываются аналогично, поэтому ограничимся доказательством только второго: n√(a*b)= n√a*n√b.

Используя определение арифметического корня докажем что n√(a*b)= n√a*n√b.

Для этого докажем два факта, что n√a*n√b. Больше либо равен нулю, и что (n√a*n√b.)^n = ab.

  • 1. n√a*n√b больше либо равно нулю, так как и а и b  больше либо равны нулю.
  • 2. (n√a*n√b)^n = a*b,  так как  (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a*b.

Что и требовалось доказать. Значит свойство верно. Эти свойства очень часто придется использовать при упрощении выражений содержащих арифметические корни.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Определение корня n-ой степени: извлечение корня
Следующая тема:   Определение степени с дробным показателем: доказательство и особенности
Нравится Нравится

Все неприличные комментарии будут удаляться.



Общеобразовательные предметы:


Математика
Физика
Информатика
Химия
История
География
Биология
Литература
Обществознание
Экономика

Иностранные языки:


Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Португальский язык
Итальянский язык
Китайский язык
Японский язык
Норвежский язык

В этом разделе:


Решение дробных рациональных уравнений
Уравнения, приводимые к квадратным
Касательная к графику функции
Основное свойство дроби
Тождества

Wiki-учебник:


Что такое Wiki-учебник?
Математика
Русский язык
Геометрия
Физика
Английский язык
Литература
География
Обществознание
История