Вход
Регистрация



E-mail: 
Пароль: 
Забыли пароль?
Номер телефона: 
E-mail: 
Зарегистрироваться
Закрыть панель
Заполните следующие поля:

Предмет:
Контактный телефон:
Ваши пожелания:
Отправить заявку
Закрыть панель

Позвоните
8 (495) 626-26-05

И мы подберем репетитора
Оставить заявку на
подбор репетитора

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Главная >  Wiki-учебник >  Геометрия > 9 класс > Теорема синусов: доказательство и задача для примера

Теорема синусов

 

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC, сторона AB = c, сторона BC = a, сторона CA = b. 

Попытаемся доказать, что a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Воспользуемся теоремой о площади треугольника, и запишем её для каждой пары сторон и соответствующего им угла:

S = (1/2)*a*b*sin(C),

S = (1/2)*b*c*sin(A),

S = (1/2)*c*a*sin(B).

Так как левые части у первых двух равенств одинаковые, то правые части можно приравнять между собой. Получим (1/2)*a*b*sin(C) = (1/2)*b*c*sin(A). Сократим это равенство на ½*b, получим:

a*sin(C) = c*sin(A).

По свойству пропорции получаем: 

a/sin(A) = c/sin(C).

Так как левые части у второго и третьего равенств одинаковые, то правые части можно приравнять между собой. Получим (1/2)*b*c*sin(C) = (1/2)*c*a*sin(B). Сократим это равенство на 1/2*c, получим: 

b*sin(A) = a*sin(B).

По свойству пропорции получаем:

a/sin(A) = b/sin(B).

Объединив полученные два результата получаем: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Что и требовалось доказать.

Решение задачи

Также можно доказать следующий факт. Отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметр описанной около треугольника окружности.

Другими словами, для любого треугольника ABC, у которого сторона AB = c, сторона BC = a, сторона CA = b, имеют место следующие равенства: a/sin(A) =b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R. Здесь R – радиус описанной около треугольника окружности.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Теорема о площади треугольника: доказательство и решение задач
Следующая тема:   Прямые: пересекающиеся и параллельные
Нравится Нравится

Все неприличные комментарии будут удаляться.



Общеобразовательные предметы:


Математика
Физика
Информатика
Химия
История
География
Биология
Литература
Обществознание
Экономика

Иностранные языки:


Английский язык
Русский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Португальский язык
Итальянский язык
Китайский язык
Японский язык
Норвежский язык

В этом разделе:


Основное тригонометрическое тождество
Признаки параллелограмма
Провешивание прямой на местности
Виды прямых
Параллелограмм

Wiki-учебник:


Что такое Wiki-учебник?
Математика
Русский язык
Геометрия
Физика
Английский язык
Литература
География
Обществознание
История