Применение основных тригонометрических формул

1. (sin(a))² + (cos(a))² = 1;

2. tg(a) = ^sin(a) / _cos(a);

3. ctg(a) = ^cos(a) / _sin(a);

4. tg(a)*ctg(a) = 1;

5. 1 + (tg(a))² = ¹ / _(cos(a))²;

6. 1 + (ctg(a))² = ¹ / _(sin(s))².

Применение основных тригонометрических формул:

Пример 1. Упростить выражение ((ctg(a))²)*(((cos(a))² - 1).

Решение:

Сначала воспользуемся основным тригонометрическим тождеством (sin(a))² + (cos(a))² = 1. Исходное уравнение преобразуется к виду: ((ctg(a))²)*(-(sin(a))²).

Теперь воспользуемся определением котангенса: ctg(a) = cos(a)/sin(a). Следовательно, (ctg(a))² = (cos(a))²/(sin(a))². Наше исходное выражение преобразуется. Получим:

((ctg(a))²)*(((cos(a))² -1) = ((ctg(a))²)*(-(sin(a))²) = ((cos(a))²/(sin(a))²)*(-(sin(a))²)= -(cos(a))².

Ответ: ((ctg(a))²)*(((cos(a))² - 1) = -(cos(a))².

Пример 2. Упростить выражение ^sin(a) / _{1 + cos(a)} + ^{(1 + cos(a))} / _sin(a).

Решение:

Приведем данные дроби к общему знаменателю (sin(a))*(1+cos(a)) и выполним сложение. Имеем:

^sin(a)/_{(1 + cos(a))} + ^{(1 + cos(a))} / _sin(a) = ^{((sin(a))2 + (1 + cos(a))2)} / _{((sin(a))*(1 + cos(a)))}.

Раскроем скобки в числителе полученной дроби:

^{((sin(a))2 + (1 + cos(a))2)} / _{((sin(a))*(1 + cos(a)))} = ^{((sin(a))2 + 1 + 2*cos(a) + (cos(a))2)} / _{((sin(a))*(1 + cos(a)))}.

В числителе получили основное тригонометрическое тождество, (sin(a))² + (cos(a))², его можно заменить на единицу.

^{((sin(a))2 + 1 + 2*cos(a) + (cos(a))2)} / _{((sin(a))*(1 + cos(a)))} = ^{(2 + 2*cos(a))} / _{((sin(a))*(1 + cos(a)))}.

Выносим в числителе общий множитель 2 за скобку:

^{(2 + 2*cos(a))} / _{((sin(a))*(1 + cos(a)))} = ^{2*(1 + cos(a))} / _{((sin(a))*(1 + cos(a)))}.

Числитель и знаменатель можно сократить на скобку (1 + cos(a)).

^{2*(1 + cos(a))} / _{((sin(a))*(1 + cos(a)))} = 2/sin(a).

Ответ: ^sin(a) / _{(1 + cos(a))} + ^{(1 + cos(a))}/_sin(a) = ² / _sin(a).

Пример 3. Доказать тождество (tg(a))² – (sin(a))² = (tg(a))²*(sin(a))².

Решение:

Преобразуем левую часть равенства:

(tg(a))² – (sin(a))² = ^(sin(a))2 / _(cos(a))² – (sin(a))² = (sin(a))²*[¹ / _(cos(a))² -1] = (sin(a))²*(1+(tg(a))² -1) = (tg(a))²*(sin(a))².

Получилось что правая часть равна левой, следовательно, тождество доказано.

Нужна помощь в учебе?