Умножение разности двух выражений на их сумму

Но существует несколько случаев, когда умножение производить полностью не надо, а существуют уже готовые формулы, называемые в алгебре формулами сокращенного умножения многочленов или просто формулами сокращенного умножения.

Формулы

Произведем умножение двух многочленов (a+b) и (a-b) или по-другому умножим разность двух произведений на их сумму.

Воспользуемся общим правилом умножения многочленов:

(a-b)*(a+b) = a^2 + a*b -b*a – b^2 = a^2 – b^2;

Таким образом, получаем: (a-b)*(a+b) = a^2 – b^2;

Данное тождество называется разностью квадратов двух выражений.
С её помощью, мы сможем легко перемножать разность двух любых выражений на их сумму.

Тождество работает как слева направо, так и справа налево. То есть можно записать его следующим образом:

a^2 – b^2 = (a-b)*(a+b);

Квадрат разности двух любых выражений равен произведения разности этих двух выражений на их сумму.

Разность квадратов: примеры

Не следует путать это тождество с другим. Здесь у нас представлена «разность квадратов» (a^2 – b^2), а есть еще тождество называемое «квадратом разности» (a+b)^2.

Следует понимать, что в качестве a и b здесь могут стоять как числа, так и любые другие математические выражения.

Рассмотрим пару примеров, на применение тождества «разность квадратов».

Пример 1.

Найти произведение двух многочленов (3*x – 2*y^2) и (3*x + 2*y^2);

Решение:

(3*x – 2*y^2)*(3*x + 2*y^2)

Воспользуемся полученной выше формулой, получим:

(3*x – 2*y^2)*(3*x + 2*y^2) = (3*x)^2 – (2*y^2)^2 = 9*x^2 – 4*y^4;

Ответ: 9*x^2 – 4*y^4

Пример 2.

Упростить выражение 6.5*x^2 – (2*x – 3*x^2)*( 2*x + 3*x^2);

Решение:

Воспользовавшись тождеством «разность квадратов», имеем:

6.5*x^2 – (2*x – 3*x^2)*( 2*x + 3*x^2) = 

6.5*x^2 – (4*x^2 – 9*x^4) = 

6.5*x^2 – 4*x^2 + 9*x^4 =

2.5*x^2 – 9*x^4;

Ответ:– 9*x^4 + 2.5*x^2;

Нужна помощь в учебе?